Alexander Swoboda wurde in Dubossary, Moldawien, geboren, absolvierte sein Schauspielstudium an der Westfälischen Schauspielschule Bochum und spielte währenddessen dort in verschiedenen Produktionen. Erste Engagements nach dem Studium führten ihn von 2002 bis 2005 an das Theater Linz und von 2006 bis 2008 an das Theater Bielefeld. Seit der Spielzeit 10/11 ist er fest am Theater Bremen engagiert. 2016 wurde er gemeinsam mit Nadine Geyersbach mit dem Kurt-Hübner-Preis ausgezeichnet. Er spielte u. a. in Alize Zandwijks „Der gute Mensch von Sezuan“, „Die Ratten“, „Der Schimmelreiter“, außerdem in Nina Mattenklotz’ „Ännie“, Theresa Welges „Nationalstraße“, Alexander Riemenschneiders „Das Schloss“ und „Amerika“ sowie in spartenübergreifenden Familienkonzerten. In den vergangenen Spielzeiten stand er u. a. in Schorsch Kameruns „King Arthur“, Dušan David Pařízeks „Drei Schwestern“, Pınar Karabuluts „Franziska“ und Nina Mattenklotz‘ „Der Russe ist einer, der Birken liebt“ auf der Bühne. Neben Alize Zandwijk, bei der er zuletzt in „Kasimir und Karoline“ und „Schöne Bescherungen“ spielte, arbeitet er immer wieder mit Klaus Schumacher, etwa in „Die Dreigroschenoper“, „Ronja Räubertochter“ und „Vor Sonnenaufgang“. In der Regie von Armin Petras spielte er in Wassili Grossmans „Leben und Schicksal“, Serhij Zhadans „Die Erfindung des Jazz im Donbass“ und Lea Ypis „Frei. Erwachsenwerden am Ende der Geschichte“. In der Spielzeit 24/25 ist Alexander Swoboda u. a. in Jorinde Dröses „Funklerwald“, Felix Krakaus „Kohlhaas (No Limits)“ und Ruth Mensahs „Der Keim“ zu sehen.